Fractal Analysis and Medical Image Applications 「碎形分析」與「醫學影像應用」

課 程 : 論文研討
班 級 : 資工研一
日 期 : 100年 9月16日
演講者 : 黃博惠院長
題 目 : Fractal Analysis and Medical Image Applications「碎形分析」與「醫學影像應用」
姓 名 : 張文銓
學 號 : 00366050

這次演講的主題是說碎形在醫學上的應用，院長首先先為我們介紹什麼是碎形，他說因為歐式幾何沒辦法描述非線性的圖形與現象，所以像是大自然裡的許多現象或形狀，多沒辦法用歐是幾何來描述。

因此約七Ｏ年代左右，數學家 Benoit Mandelbrot 在論文「英國的海岸線有多長？」中，發展出了新的維度觀念 ── 幾何學：碎形。

　　碎形幾何試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象，與大自然的複雜結構，把觸角伸入，除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學，乃至於天文學所談及的星體分布。

　　搖身一變，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。這些研究開拓了人們對於維度、尺度、結構的新看法，碎形的特徵大致上有幾下幾種：

1.碎形具有分數維度：不同於整數維度的零維點，一維線段，二維面，碎形所具有的維度是分數的，例如無窮擴張三分之四的卡區曲線，其維度是 1.2618。

2.碎形具有尺度無關性：對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺來量度「可觀察的區域」，碎形會具有一致的碎形維度。

3.碎形具有自我模仿性：對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度\一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重複\細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環\重現的複雜現象。

4.碎形代表有限區域的無限結構：例如，原本是一固定線段的 Cantor Set，最後變成一系列數量無窮，但總長度卻為零的點集合。

5.碎形隱含一種整體性：可以從某一尺度的碎形，來推知另一尺度的「同一個」碎形的大致樣子，這意味著一種整體性，小細節的傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以令所有小細節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。

6.碎形是觀察手段的相對結果：對於不同的觀察者而言，數據結果是依觀察者與其手中的量尺（不同的觀察手段）。

　　波蘭著名的數學家 Waclaw Sierpinski 於 1916 年提出了 Sierpinski Gasket 的圖形。
　　產生 Sierpinski Gasket 的方法如下：
　　第零步驟：畫出實心的正三角形
　　第一步驟：將三角形每一邊的中點連線，會分割成四個小正三角形，我們把中央的正三角
　　　　　　　形拿掉，會剩下其餘的三個正三角形
　　第二步驟：將每一個實心的小角形都重複第一步驟
　　第三步驟：重複第二步驟

　　接下來的步驟，即重複地疊代下去………………

皮亞諾曲線

　　產生 Peano Curve 的方法如下：
　　第零步驟：畫出一條線段
　　第一步驟：分成三等份，依照下圖的第一步驟所示而變化，其中每一個線段都是在端點上互相結合的，而並非交錯分割
　　第二步驟：將曲線中的每一個線段都重複第一步驟
　　第三步驟：重複第二步驟
　　接下來的步驟，即重複地疊代下去………………

經過公式運算 D=log9/log3=2

現在來驗證一下發現皮亞諾經過無數次重複後會變成一個面，而面的維度是2，因此符合公式的推導

Cantor Set

　　第零步驟：畫出一條線段
　　第一步驟：再把中間那一段拿掉，剩下左右兩邊長度各為 1/3 的線段
　　第二步驟：將剩下的每一個線段都重複第一步驟
　　第三步驟：重複第二步驟
　　接下來的步驟，即重複地疊代下去………………

經過公式運算，得到D=log2/log3=0.6309

碎形在藝術方面以及大自然的現象都可以很容易發現到，下面兩張圖示就是碎形。

碎形藝術

碎形--整體性和自我模仿性

在醫學上的應用

院長把碎形應用在攝護腺癌症的分析上，因為其具有紋理相似性，因此很適合用碎形來做處理，而院長的方法有高達95%的正確率，是目前已知的電腦判斷方法中最好的，此外這個方法所需要的樣本數也是最少的，因此不只在樣本數多的判斷中勝過其他方法，更是在樣本數少的判斷中遙遙領先，由此可知院長的方法真的做得非常棒。

攝護腺癌症期數的細胞病變

第一期和第二期 第三期

第四期 第五期

在最後提問問題時，有位同學問了為何有5%的錯誤率，院長回答說這些錯誤都是差別一期的誤判，例如第三期判斷成第四期或第四期判斷成第五期，而會造成誤判的原因是因為醫生在判斷病情時，會顧慮到病人的感受，因此病情有時會講得比較輕微，而電腦是沒有感情的，該是第幾期就是第幾期，所以會出現與醫生判斷不合的情況。

院長這番話講得很有自信，可以從這裡知道他對自己的方法很有把握，不過我自己有另一番想法，就是有可能是臨界現象，例如在第三期末正要進入第四期，這時候就會出現人和電腦的判斷差異。

這種臨界現象很好理解，因為癌症的演變是持續性，也就是從第一期慢慢的加深病情到第二期，然後第三期、第四期…，因此一定會有正好在兩個時期的接觸邊緣，而紋理判斷不是像數學一樣嚴謹，例如數學中4.001跟4.00001不相同，所以當臨界發生時，就會出現判斷誤差。

我個人覺得臨界現象所產生的誤差可能無法解決，除非有人之後能對攝護腺癌症進行嚴謹的定義，否則這種現象能會存在。這不是電腦方法的問題，就算請兩位專業的醫生來判斷一個處於臨界的攝護腺癌症病情，也有可能出現不同的判斷。

參考資料來源:

黃博惠教授的Fractal Analysis and Medical Image Applications 「碎形分析」與「醫學影像應用」投影片

http://www.atlas-zone.com/complex/fractals/index.html#new

http://blog.xuite.net/sinner66/blog/10078448